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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4. Sean $f(x)=3 x^{2}+x$ y $g(x)=5 x+2$. Encuentre el punto en el cual las rectas tangentes de $f$ y $g$ resultan paralelas. Halle las correspondientes ecuaciones.
Respuesta
De nuevo, para resolver este problema hay que tener bien en claro que la derivada en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente en este punto. Nosotrxs tenemos acá dos funciones, $f$ y $g$, y queremos encontrar el punto en el cual sus rectas tangentes son paralelas... es decir, tienen la misma pendiente... es decir... sus derivadas en ese punto valen lo mismo!
Reportar problema
Entonces, derivemos ambas funciones y pidamos que esas derivadas sean iguales (las igualamos) y despejamos que $x$ cumplen eso, se entiende la idea?
La función $f$ es:
$f(x)=3 x^{2}+x$
Usando lo que vimos en la primera clase, la derivada es:
$f'(x) = 6x + 1$
La función $g$ es:
$g(x)=5 x+2$
y su derivada,
$g'(x) = 5$
Ahora pedimos que ambas derivadas sean iguales:
$f'(x) = g'(x)$
$6x + 1 = 5$
Despejamos qué $x$ cumple esto:
$6x = 4$
$x = \frac{2}{3} $
Es decir, en $x = \frac{2}{3} $ las rectas tangentes de $f$ y $g$ son paralelas (tienen la misma pendiente)
Ahora, hallamos las ecuaciones de las rectas tangentes. Primero, pensá que $g(x)$ es una recta, así que la recta tangente en cualquier punto no puede ser otra cosa que... la mismísima $g(x)$. En el caso de $f$, la recta tangente en $x= \frac{2}{3} $ va a estar dada por
$y = f'(\frac{2}{3}) \cdot (x - \frac{2}{3}) + f(\frac{2}{3}) $
Reemplazando:
$ y = 5 \cdot (x - \frac{2}{3}) + 2 $